[실생활 속 수학] 로그함수의 응용(2)(로그차트의 기울기, 상승률과 하락률)

안녕하세요. 실생활에서 볼 수 있는 수학에 대해 다뤄보는 시간입니다.
오늘 포스팅에서는 저번 포스팅에 이어서 로그함수를 어떻게 응용하는지에 대해 알아보겠습니다.
로그와 로그함수의 개념과 의미에 대해 알고 싶으신 분들은 이전 포스팅을 참고해주시기 바랍니다.

2020/12/22 - [실생활/금융] - [실생활 속 수학] 로그와 로그함수(1)(로그 차트의 이해)

[실생활 속 수학] 로그와 로그함수(1)(로그차트의 이해)

2020.12.27 - [실생활 속 수학/금융] - [실생활 속 수학] 액셀로 로그차트 만들기

[실생활 속 수학] 액셀로 로그차트 만들기

오늘은 다양한 사례를 바탕으로 실생활에서 사용될 수 있는 로그에 대해서 알아보겠습니다.
여러가지 그래프를 보면서 지수함수와 로그를 설명하도록 하겠습니다.

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미국의 나스닥종합지수(IXIC). 출처: Investing.com

위의 그림은 미국의 기술주들을 종합적으로 나타낸 나스닥지수 지난 약 40년 동안의 그래프입니다.
역시 미국답게 우상향하는 그래프를 보여주고 있습니다.
그런데 언뜻 보기에, 최근 4년 동안 지수가 예전의 흐름에 비해 너무 많이 올랐다고 생각하시는 분들이 계실 겁니다.

경제성장률이나 기업의 성장률 등은 고려하지 않고 단순히 숫자로만 보자면 말입니다.
예전의 그래프에 비해 최근 4년의 그래프는 아찔할 만큼 가파르게 보입니다.

하지만 다음 그래프를 보면 느낌이 다릅니다.

나스닥 종합지수를 로그차트로 나타낸 그림.

위의 그림은 나스닥 종합지수를 로그 눈금으로 나타낸 것입니다.

그래프의 오른쪽 눈금을 보면 숫자의 간격이 일반적인 크기가 아닌 로그 값의 간격으로 바뀐 것을 볼 수가 있습니다. 로그 눈금으로 바꾸어보니, 예전의 그래프나 지금이나 똑같이 "선형적으로" 상승하는 것을 볼 수가 있습니다.



※ 두 그래프에서 알 수 있는 점을 정리해봅시다.

1. 로그 값이 선형적으로 증가한다면, 즉 로그 차트의 기울기가 일정하다면, 실제 값은 지수함수의 그래프처럼 기하급수적으로 늘어나는 그림과 같다.

2. 실제 값이 선형적으로 증가한다면, 로그차트의 기울기는 점차 완만해진다(작아진다).




위의 두 가지 결과를 저번 포스팅에서 다루었던 지수와 로그의 관계를 보면 이해하실 수 있습니다.

주가가 상승할 때 우리의 수익'률'에 관련이 있는 것은 가격의 상승'분'이 중요한 것이 아니라 가격의 상승'률'이 중요한 것이기 때문에,
우리는 로그 차트의 기울기로 그 상승'률'을 확인해볼 필요가 있습니다.

예를 들어, 실제로 지수가 3000에서 6000이 될 때와, 지수가 6000에서 12000이 될 때,
지수 자체는 전자의 경우 3000이 올랐고, 후자의 경우 6000이 오른 것이지만 실제로 상승률을 보면 100%로 같다는 것을 볼 수 있습니다.

그런데 사람은 무의식적으로 후자의 경우가 더 많이 올랐다고 생각하는 경향이 있는 것 같습니다. 그래프 상으로 보아도 너무나도 급속도로 상승하는 듯한 모습을 보여주기 때문입니다.

따라서, 정확하게 그 상승률을 알기 위해서는 로그 차트를 꼭 확인해보아야 합니다.
또한, 상승률이 일정하다면 실제 그래프는 '선형'이 아닌 지수함수를 따라야 합니다.

우리나라 코스피 지수도 예로 살펴봅시다.

역대 코스피 지수.

위는 우리나라의 코스피 지수입니다.
몇 가지 살펴보자면, 빨간 선으로 그어진 두 부분은 모두 지수가 1000포인트씩 비슷한 기간 동안 오른 두 시기를 그린 것입니다.
우리가 그냥 보기에는 이 두 선은 거의 유사하다는 느낌을 줄 뿐입니다.

코스피지수의 로그차트.

위의 그림은 코스피지수의 로그 차트입니다. 아까는 비슷해 보였던 두 빨간 선이 로그 차트에서는 상당하게 크게 차이가 나는 것을 볼 수가 있습니다. 말 그대로, 둘의 상승은 같았지만, 상승률은 차원이 다르게 차이가 나는 것입니다.

특히나 최근 10년간 코스피가 박스권에 머무르면서 성장하지 못한다 하여 일명 '박스피'라고 불리기도 했었는데, 이를 더 정확하게 로그 차트로 보면 실제 그림보다도 더욱 정체되어 있다는 사실을 알 수 있습니다(안타깝군요.).

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이번 포스팅에서는 두 가지 사실에 대해서 다루어보았습니다.

첫째, 실제 상승률이 일정하다면 지수 자체는 지수함수(기하급수적)의 그래프를 따라야 합니다.
반대로, 지수 자체가 직선으로 나타난다면, 실제 상승률은 점차 둔화되고 있다는 것을 말합니다.

둘째, 로그 차트의 기울기는 곧 상승률을 나타냅니다. 우리는 상승률을 따져보기 위해서 차트를 로그 눈금으로 나타내어 살펴볼 필요가 있습니다.

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다음 포스팅에서는 엑셀로 직접 로그 차트를 만드는 간단한 방법에 대해서 다루어보겠습니다.
지금까지 읽어주셔서 감사합니다.^^
많은 도움이 되셨길 바랍니다.