대학 입시 준비 중이라면 꼭 알아야 할 표준점수의 모든 것(1) (고등수학 - 확률과 통계)

요즘은 대학 입시를 준비하는 고3 학생들의 모습이 한창이다.

물론 바이러스로 인해 정상적으로 학기가 운영되지도 못했고, 여러모로 고생을 하는 이번 고3 학생들이다.

개인적으로 나에게 과외를 받는 학생들도 자소서 쓰랴 수능 준비하랴 바쁘게 시간을 보내고 있다.

 

모두들 화이팅!

 

저번 포스팅에서 잠깐 소개했던 표준점수(Z점수)에 대해서 이번 포스팅에서 더 자세히 다루어보려고 한다. 이미 내신시험을 다 치룬 고3들도, 요즘 중간고사 내신을 준비하고 있을 고1,2 학생들도, 문과 이과 학생들도 표준점수(Z점수)와의 전투를 치르고 있을 것이다. 또한 수학 영역의 공통 과목인 확률과 통계에서도 소개되는 내용이다보니 아마 대학 입시를 준비한다면 모두가 잘 알아야되는 내용이지 않을까 싶다.

 

표준점수란 무엇일까.

 

표준점수는 말그대로 표준화된 점수인데, 정규분포 상에서 차지하는 위치를 나타낸다.

 

정규분포?

 

정규분포는 무엇일까.

 

정규분포(Normal Distribution)는 어떤 데이터의 분포를 나타낸 것인데, 인간과 자연을 포함한 모든 데이터들을 많이 수집하였을 때 분포를 보면 정규분포를 따르는 경우가 많다. '정규'라는 명칭부터 얼마나 노멀한 것까지 포함할 수 있는지 보여준다.

 

그림은 다음과 같다.

 

표준정규분포의 모습

 

정규분포 중에 표준정규분포의 그래프다.

가로축은 평균, 세로축은 확률을 나타낸다.

평소 책에서 보던 것보다 길게 늘어져 있다는 생각이 들겠지만, 이것이 실제 그래프의 비율이다.

 

정규분포는 '평균'과 '표준편차'라는 두 값에 따라 형성이 된다(식은 어려우니 생략하겠다).

 

이상적인 상황을 가정하면 평균일 확률이 가장 높을 것이며, 평균에서 양옆으로 멀어질수록 점점 확률이 낮아질 것이다(그림을 보면 그렇다). 

 

표준편차는 겉으로 드러나지는 않지만, 그림의 모양을 결정하는데..

 

표준편차가 0.5일 때 정규분포

 

표준편차가 0.25일때 정규분포

 

위의 두 그림을 비교해보면 표준편파가 더 작을수록 평균쪽으로 더 모이는 듯한 느낌을 준다.

표준편차는 '산포도'를 나타내는데, 즉 얼마나 퍼져있는지를 나타내는 것으로

표준편차가 작으면 평균으로부터 자료들이 적게 퍼져있다는 뜻이므로 평균쪽에 많이 모여있는 것이고,

표준편차가 클수록 평균으로부터 자료들이 많이 퍼져있다는 뜻이다.

 

표준편차가 빨간선은 0.25, 파란선은 0.5인 정규분포를 겹친 그림.

 

그러면 앞에 잠깐 언급된 '표준정규분포'는 무엇일까.

 

정규분포를 표준화시킨 것이다.

 

표준화란 평균이 0, 표준편차가 1인 정규분포로 바꾸는 작업을 말한다.

 

마지막으로, 정규분포의 가장 큰 특징을 살펴보면..

 

정규분포

★ 모든 정규분포의 아랫부분 넓이(위의 노란색 부분)는 항상 1이다.

★ 정규분포는 평균에 대해 대칭이다.

 

전체를 1이라고 생각하는 것이다. 이때, 상위 n%의 의미를 그림에서 찾을 수 있다.

1=100%이고 상위 50%는 다음 그림과 같다.

 

 

정규분포는 평균에 대해 대칭이므로 평균 이상일 확률은 0.5이다. 즉, 평균보다 높은 쪽이 전체의 50%라는 뜻이므로 평균은 상위 50%의 값이 된다. 이와 비슷한 논리로,

 

상위 10%라면 칠해진 넓이가 10%(0.1)이 곳의 x값을 구하면 되는 것이다.

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수능이나 내신 등의 모든 시험들이 갖는 고민 중 하나는 시험의 난이도가 적절했는지일 것이다. 매해 본 시험지는 모두 공개되기에 매번 똑같은 시험문제를 낼 수도 없다. 문제는 매번 달라지는데, 시험의 난이도가 항상 같을 수만은 없는 노릇이기에... 대학에서는 매번 다른 난이도의 시험을 통해 학생들의 실력을 평가해야만 한다.

우리는 어려운 시험 85점보다 쉬운 시험 95점을 더 잘봤다고만 말할 수 없는 걸 알고있다. 이처럼 각 학교마다, 매해 매번마다 다른 시험이기에 이것을 객관적으로 평가해야 하는데, 이때 사용하는 기본적인 방법이 바로 표준점수(Z점수)다.

 

포스팅이 너무 길어지는 바람에 다음 내용은 바로 다음 포스팅에서 다룰 예정이다. 다음 포스팅에서는 시험점수와 표준정규분포를 연관짓는 것과 표준화, 표준점수의 의미 및 표준점수가 높으려면 어떤 조건을 가져야 하는지에 대해서 다룰 예정이다. 시험에서 어떻게 적용되는지 알고 싶다면 꼭! 다음 포스팅도 함께 참고하길 바란다.

 

모든 입시생들 화이티잉~!