[실생활 속 수학]1. 72의 법칙의 비밀, 간단한 복리 계산법

[이제는, 알고싶은 수학] 1편에 지수함수에 대해 소개하면서 복리 계산에 대한 이야기를 했었다.
그런데 한참 요즘 시국에 제테크 열풍이 불면서 금융 관련된 광고들이 줄줄이 쏟아져 나오고 있는데, 그 중에 가장 호기심을 자극하는 것은 '72의 법칙'이었다.
요즘 어디에서나 72의 법칙이란 말을 한번쯤은 들어본 독자들이 있을 것이다.
72의 법칙은 '연 n%의 이자율로 자산이 두 배가 되는데까지 걸리는 시간'을 나타낸 것으로, 보통 72에서 이자율(퍼센트 단위)을 나눈 것이 그 시간이 된다는 내용을 담고 있다.

근데 왜???
왜 그렇게 하면 나오는거지??
궁금해서 일단 계산기로 간단한 계산들을 해보았다.
다음 표는 이자율에 따라 72의 법칙을 적용했을 때 자산이 몇 배가 되었는지를 계산한 것이다.

연이자율(%)	72로 나눈 값(년)	결과
0.5	144	2.051
1	72	2.047
2	36	2.04
3	24	2.033
4	18	2.026
6	12	2.012
8	9	1.999
9	8	1.993
10	7.2	1.986
30	2.4	1.877

얼추 맞는다는 결과가 나온다. 이자율이 커질수록 점점 결과가 작아지지만, 연 10%의 이자율 정도까지는 72의 법칙을 사용하면 2배가 되는데까지 걸리는 시간을 근사적으로 구하는 데 도움을 얻을 수 있을 것이다.
그런데 30%까지 커지면 조금은 차이가 나기 시작한다..(요즘 30%가 있기는 하니..?)
예를 들어, 올해 21살인 대학생이 연 이자율이 1%인 은행 예금에 1000만원을 저축했다고 치자.
그러면 72년이 지난 93세가 되어서야 예금에 2000만원이 있는 것을 확인할 수 있다.(oh..no..)
꼭 1년단위로 볼 필요는 없고, 일 단위나 월 단위로도 자유롭게 사용가능하다.
내가 투자한 종목이 9거래일 연속 8%상승을 지속한다면, 나의 투자자금은 두배로 불어날 것이다.(wow)
그럼 4배가 되기까지는??
4배는 2배의 2배이므로 표에서 걸리는 시간의 두배만큼이 걸린다고 할 수 있다.
이처럼 지수 계산과 함께 사용한다면, 복리에서의 계산을 편리하게 할 수 있게 된다.

그렇다면 왜 이런 결과가 나왔는지, 어떻게 우리가 이 법칙을 믿고 사용할 수 있는지에 대해서 알아보자. 대학수학의 내용이 조금 나오니 이해가 되지 않아도 상관없다. 자세한 내용은 추후 업로드 예정.
이자율이 n, 두 배가 되는데까지 걸리는 시간이 t일 때,

이때, n이 무수히 작을 때, 테일러 급수 전개를 이용하면
ln(1+n)=n 으로 근사 가능한데, ln(2)=nt=0.693...이 된다.
즉, 이자율과 시간의 곱이 0.693이다.
이때, 이자율을 퍼센트로 바꾸면, 69에서 이자율을 나누면 시간이 나온다는 것을 알 수 있다.

엥??? 72의 법칙이라면서??
이것은 근사를 어디까지 허용하느냐의 차이다.
72이라는 숫자가 69의 근방에 있는 숫자 중 가장 보기 좋다(?)
그말은, 72가 어떤 숫자로 나누었을 때 가장 보기좋게 나누어떨어지기 때문인 것이다.
또 위의 계산에서 근사를 어디까지 허용하느냐에 따라 72에 가깝게 만들 수 있다.
실제로 위의 표를 보아도 72를 사용했을 때, 별 문제 없이 계산됨을 알 수 있었다.

이상...이해를 못했더라도, 그냥 맘편히 사용하면 된다는 것을 증명해보았다.
우리모두 꾸준한 수익을 내면서 72의 법칙을 잘 적용해보자!